助動詞 can

助動詞とは、動詞を助ける詞と書く通り、動詞の補助的役割をします。
その代表的なものが、「can」で、「〜できる」という意味になります。
使い方は簡単で以下のようになります。

● A turtle can breathe through its butt.
  亀は尻から呼吸できる。

この文は、「breathe(呼吸をする)」という動詞の前に、「can」が付いているのが分かると思います。
このように、基本的に、助動詞は、動詞の前に置かれます。
また、主語、「turtle」は、三人称単数なので、本来、動詞の語尾に、「s」がつくはずですが、原形になっているのは、前に助動詞が付いているからです。
助動詞を使う時は、動詞は、原形になります。

● I cannot live without you.
  あなたなしでは、生きていけない。

この、2番目の文は、否定文で、「can」の代わりに、「cannot」という形になっています。
「can」の否定は、「cannot」で、「can not」とは、書かないので、注意が必要です。
また、省略形は、「can't」で、上の文は、「I can't live without you.」とも言えます。

● Can't a sea otter lie prone?
  ラッコは、うつ伏せで寝れないのか?

この、3番目の文は、「can」の否定の「cannot」の省略形、「can't」が前に出てて、否定疑問文になっています。
「Can SV 〜?」なら「SはVできるのか?」ですが、「Can't SV 〜?」なら「SはVできないのか?」という意味になります。

また、「Cannot SV 〜?」という形は、Leo Tolstoy著、Louise & Aylmer Maude訳の「Anna Karenina」で、

 Why cannot I be dull at a ball?

という文が使われています。
今では、あまり使われていないようですが、古い小説を読んでいると、こういった形も出てきますので、この形も文法的には、間違いではありません。

● Can I not smoke?
  タバコ吸っちゃダメなの?

この、4番目の文は、否定の疑問文ですが、「can」だけが前に出て、「not」があとに残っていて、3番目の「can't」を前に出す代わり、このような形もあります。
「Cannot SV 〜?」の形は、文法的に間違いではありませんが、今は、あまり使われていないようです。
また、この「can」は、「〜できる」というより、許可を求める文です。
これの返答は、以下のようになります。

 Yes, you can.
 いいや、吸っていいよ。
 No, you can't
 うん、吸っちゃダメ。

● This can be a great opportunity!
  これは、最高のチャンスにもなりえるぞ!

この、5番目の文は、可能性を表す文で、「can」の使われ方は、同じです。

● Can I help you?
  お困りですか?

この、6番目の文は、状況によって、変わってきますが、わりと丁寧な依頼を表す文です。
お店などでは、「いらっしゃいませ」の意味になります。
誰かが困っている時に、このように声をかけるのは、「May I help you?」のほうが丁寧ですが、この「Can I hel you?」でも、失礼ではありません。
「Can I 〜?」は、自分が何かをしたいときは、失礼になる時もありますが、このように、相手を助ける場合は、少しだけ丁寧な表現になります。